江苏省宿豫中学  朱立栋

在《二次函数与二次方程》一节教学中，我补充了方程的根的分布知识。把二次方程有两个正根、两个负根、一正根一负根等情况用传统方法回顾之后，有引导学生从函数图象角度去寻找相关条件，并强调从图象角度寻找条件要从以下三个方面着手：①判别式△0；②对称轴的位置；③根所在区间端点对应函数值的符号。这三个方面考虑到了，写出来的条件就是等价条件。在接下来的课堂教学中，又与学生一起，通过例题的方式，借助图象总结了二次方程ax²+bx+c=0(a>0)①在(m,n)上有两个实根；②在(m,n)上有一根，在(p,q)上有另一根；③一根比m大，一根比m小等三种情况。自以为讲得头头是道，学生也听得津津有味，便留下了一道思考题：

若方程x²+ax+1=0在（-1，+1）上有且仅有一个根，求a的取值范围。

原以为这道题学生应该能够利用图象，找出正确条件。晚辅导到教室提问，竟无一个学生能够找正确。原因在哪呢？

深入调查了解发现，主要原因是学生对图象与表达式的转化关系、图象与区间（-1，1）的位置关系不能搞清。许多学生还不知道用图形去帮助自己去分析、解决问题。由此我觉得：应在高一数学教学中，强化图形的应用意识。理由如下：

1．图形意识——即数形结合，是中学数学中一种重要的数学思想，也是一种重要的解题方法，在高考中地位尤其突出（据权威统计，前几年高考中，有40%以上的问题可借助图形思考）。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。

数形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案

通过数与形的转化，把数的问题转化为图形的问题加以研究，使问题变得直观形象，降低了逻辑思维、抽象思维的难度。

2．在新课程教材中，把函数图象的教学放在突出的地位加以设计，有意识地强化图形的地位，引导教师对图象的教学。如在教材的第25页，函数y=f(x)的图象即点集{(x,y)|y=f(x),x∈A}，且在贯穿《函数》一章始终，把电脑制图影印出来。这些在以前的教材中是没有的。

3．学生对图形应用意识薄弱、基础技能生疏更是强化图形教学的关键所在。

如何在教学中强化图形意识的教学呢？浅见如下：

（1）要让学生熟悉基本得初等函数得图象

 常见的函数如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，特殊函数如等，这些都是解题中常用的函数，是进行图象教学的基础。不仅要让学生熟悉这些图象的画法，还要掌握有关图象的对称性、单调性、渐进线等固有的性质。

（2）要让学生熟练掌握图象变换，能作出复杂函数的图象

复杂函数的图象，往往由简单的初等函数图象变换而得。因此掌握基本初等变换是作复杂函数图象的基础。教学中，要强化“平移变换”（要强调平移的量）、“对称变换”、“伸缩变换”的教学。在作图示例中，要注意图象本身固有的性质（对称轴、渐进线、特殊点）要随之变换，这一点在解题中非常重要。如

例：作出函数的图象，并利用图象讨论方程的解的个数。

   解：函数的图象变换过程如下：

      y=3^x的图象向下平移一个单位，得函数y=3^x-1的图象，在将该函数图象在x轴上方部分保留不变，下方部分对称到x轴上方，得函数的图象。图象如图所示：

（要说明的是：该图象变换中，渐进线必须随图象的变换而变换，否则，图象不准导致解题出错）

对方程的解的个数的讨论，转化为函数与函数y=k的图象交点的个数。如图，

由图象知，当k>1或k=1,0时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解；当k<0时，方程无解。

注：本题中若不注意渐近线的变换，很容易出错。

（3）强化“数”、“形”转化关系，教会学生运用图形

  将数与形进行熟练转化，是一种很重要的能力。缺少这一环节的教学，运用图形解题是空话。在新教材函数一章中教学中，甚至在整个高中数学教学中，都要不放过任何一次利用图形的机会，逐步渗透，深化数形结合意识的培养。“数形”转化，往往是高一新生的薄弱环节，也是教学中的难点。教学中，必须反复引导学生探索，熟练掌握以下要点：

①方程f(x)=0的根即函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；方程f(x)=g(x)的根为同一坐标系中f(x)与g(x)的图象交点的横坐标；方程解的个数即图象交点的个数等等。

②不等式f(x)>g(x)的解即为同一坐标系中当f(x)的图象在g(x)的图象上方时对应部分的横坐标的取值范围；

③注意代数表达式的几何意义。如代数式的几何意义为点（a,b）与动点（x,y）连线的斜率；的几何意义为点(a,b)到点（x,y）的距离；的几何意义为动点（x,y）到两定点（a,b）与（c,d）的距离之和。

在以后的延续教学中，要时时关注下列有关问题：

①向量问题中有关模的问题往往意味着用图像解决。

②集合：集合，子集，交集，并集，补集的文氏图表示。

③数列的有关问题可以归结为应用函数的图像来处理。

④复数：复数的点表示与向量表示，复数代数形式的加减运算与向量合成分解的平行四边形法则，复数的模、共轭、倒数形式的几何意义，复数形式下的轨迹方程。

⑤三角函数：三角函数的定义与三角函数线；三角函数的图像与性质；勾股定理、余弦定理的代数结构特征；任意角及其半角、三等分角等等的象限表示及三角函数值的符号。

⑥解析几何基本公式的代数特征与几何意义。直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的几何定义与代数方程之间的对应关系，两曲线的位置关系及两曲线对应的方程组的实数解之间的对应关系，a,b,c,e,p的几何意义。

另外，在导数、统计等方面也有体现，这里不再一一列举。

（4）适当训练，使图象运用成为学生解题的自然意识

数形结合，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。数形结合的思想方法将抽象的代数问题给以形象化的原型，训练人们思维形象化的思维品质；将复杂的代数问题赋予灵活变通的形式，从而给人们思维灵活性的思维迁移训练，这正是反映了数形结合的思想方法解决数形之间问题的有效途径所在。

因此，在高中数学教学过程中，要选择恰当的时期，适时进行数形结合的训练。不仅在函数一章中要适时训练，在今后的教学中，还要逐步强化。一种重要能力的形成是长期的，作为高中数学教师要在高一到高三的各个阶段，精心组织教学内容，深化对学生数形结合意识的培养。